《数学方法论》学习指南
一、课程性质
《数学方法论》是高等师范院校数学教育专业及相关专业本科生的一门通识教育选修课，也可作高师数学教育专业研究生必修的一门基础课．本课程是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学的发现、发明和创新的学科．它是方法论学科中一门独立的学科，它在数学研究和教学中的地位与作用日益受到人们的普遍重视．现代科技与经济发展成熟的标志是数学化，“数学化”不仅是数学知识的应用，更多的是数学思想方法的应用．
二、课程的意义
新的数学教育理念认为，要提高中学生的数学素质，不仅要学生掌握数学知识，还要使学生掌握渗透于数学知识中的、对人的素质有重要影响的数学方法，并能用数学知识和方法去解决实际问题．我国中学数学课程改革中新的《数学课程标准》已将数学方法的教学列为中学数学教育的主要目标之一，因此要求中学数学教师应具备较为系统的数学方法知识结构以及运用数学方法解决实际问题的能力．
三、教学目的
了解“数学方法论”课程的性质及其意义，了解该课程的研究对象、范围以及它与所学知识的联系，理解它在中学数学教学中的作用；掌握数学研究的一般方法和有关概念，包括数学逻辑方法、思维方法和中学数学中常用的数学思想方法；能够用所学的、较为系统的数学方法来探求数学认知和应用的一般规律．
四、教学内容
第一章绪论
知识点一：数学方法论的主要概念
针对方法、科学方法、方法论、科学方法论、数学方法、数学思想方法、数学方法论等概念的讲解．
知识点二：数学方法论的性质、对象及其产生与发展
数学方法论的性质和对象简介，讲述数学方法的积累及数学方法论学科的产生、形成与发展过程．
知识点三：学习数学方法论的意义
从促进数学的发展、发挥数学的功能和数学教育改革几方面阐述学习、掌握数学方法论知识的意义．
重点：
掌握数学方法论的主要概念，了解数学方法论的性质、对象等．
难点：
掌握数学方法论的概念和理解数学方法论的意义．
第二章化归
知识点一：化归思想和方法的有关概念
介绍规范问题、问题的规范化、数学中的化归方法、化归的模式、化归的方向和原则等概念，包括对熟悉性、简单性、直观性等概念的讲解．
知识点二：化归的方向
通过具体的数学例题，理解化归方法在实施中的方向及其原则的具体内容和内涵，包括符合化难为易、化繁为简、化未知为已知等思想应用的例子，以及利用熟悉性、简单性、直观性等思路找到化归途径的范例．
知识点三：化归策略
介绍常用的3种化归策略，以及3种化归的常用方法．通过大量的典型实例，分别对这些策略和方法予以应用，从而掌握它们的特点．
知识点四：化归的方法
主要介绍把一类数学问题化归为另一类数学问题的方法．
知识点五：辩证地认识化归
主要从化归的核心思想以及化归的实践性、局限性等三方面重新认识
化归的特点．
重点：
掌握化归的主要概念及其原则、策略和方法，了解化归的基本方法．
难点：
在数学化归思想指导下分析具体问题，并在解题中顺利实施化归的策略和方法．
第三章类比与归纳
知识点一：类比法与归纳法
类比、简单类比、复杂类比、常见的几种类比、归纳、数学归纳法、数学归纳原理等方面的概念讲解．
知识点二：常见的几种类比和归纳
介绍数学研究中常见的几种类比模式以及归纳模式．
知识点三：类比与归纳的再认识
整体上重新认识类比、归纳与化归的关系，并由此进一步理解类比和归纳是数学发现的重要方法．理解“培养学生提出问题的能力比解决问题的能力更重要”的意义．
重点：
掌握类比和归纳的相关概念和数学归纳原理，了解利用类比和归纳的常见类型及方法解决数学例题的过程．
难点：
认识类比、归纳与化归的关系以及归纳法与数学归纳法的区别．
第四章联想与直觉
知识点一：联想的有关概念、意义、法则及其途径
包括联想与数学联想的概念及3个联想法则和5个联想途径的介绍．
知识点二：直觉的有关概念、意义、特征及数学直觉分类
包括直觉与数学直觉的概念及6个直觉思维的特征介绍．
知识点三：联想与直觉在解题中所起的作用
本节重点是选择一个简洁、典型的例题，由此来说明联想与直觉在解题中的作用及其方法．
重点：
掌握联想与直觉的相关概念和思维规律，了解利用联想与直觉的方法发现或解决数学问题的过程．
难点：
认识联想与直觉的关系及其区别，并理解两者在解题中所起的作用．
第五章数学的论证方法
知识点一：论证方法概念及分析法与综合法
介绍命题、推理、论证等概念及常用的论证方法的两种．
知识点二：直接证法与间接证法及应用
这是另外两种常用的论证方法，并介绍其在证题中的应用．
知识点三：计算证题法及其应用
把证明问题转化为计算的方法叫做计算证题法，该方法一般思路单纯（即使算式繁杂但难度降低），较易着手，且能避免添加过多的辅助线．
重点：
掌握论证的相关概念和数学推理及其证明类型，掌握计算证题的诸多方法的特点．
难点：
认识间接证法的本质特征，掌握同一法的特点及其与反证法的区别．
第六章数学的抽象方法
知识点一：数学研究对象的抽象性
数学抽象与其他科学的不同之处在于研究对象的抽象性和研究方法的抽象性两个方面，并介绍研究对象的抽象性的两个特点．
知识点二：数学抽象的基本形式
介绍数学抽象的4种基本形式．
知识点三：研究方法的抽象性及数学发展规律
通过几种不同的公理化方法了解数学研究方法的抽象性，并由此探
讨数学学科的发展规律．
重点：
掌握数学对象抽象的特点，理解数学抽象方法对数学发展的意义．
难点：
对数学抽象的几种常见形式的认识，对各种不同公理化方法的理解．
第七章数学的模型方法
知识点一：数学模型方法的有关概念及其意义
介绍模型以及数学建模等概念，并介绍其4个方面的意义．
知识点二：数学建模的一般步骤及建模过程
利用“凳子的平稳问题”的解决过程来说明数学建模的7个步骤．
知识点三：数学建模的基本方法
通过具体实例介绍数学建模的3种基本方法．
重点：
掌握数学模型的有关概念，了解数学模型方法的意义及其作用．
难点：
弄清数学建模的每一步骤的特点，了解数学建模各类方法的区别．
第八章数学的试验方法
知识点一：试验方法的基本思想及思维过程
数学试验方法的基本思想是：面对问题和题设情况→确定试验方案→逐项试验→去伪存真（剔除不合题意的解）→找出问题解答．
知识点二：数学试验与数学猜想的关系
对于较为复杂的数学题，且不容易找到解题思路时，可进行适当实验，并对实验结果作归纳，探索条件与结论的联系，猜测解题方向．
知识点三：非标准问题及优选问题的试验求解
非标准问题与优选问题，一般难以直接用常规的思考方法，而运用试验来寻找解题方向，往往容易成功．
重点：
了解试验方法的基本思想，掌握非标准问题试验求解的一般方法．
难点：
弄清数学试验与数学猜想的关系以及在猜想中的作用，了解数学试验方法与其他方法的区别．
第九章数学的美学方法
知识点一：数学家与艺术的关系及其对数学美的看法
知识点二：数学美的基本特征
数学美既有感性的色彩，又有其确定的内容，它的基本特征是相对稳定的，用美学的标准来看，它具有简单性、对称性、统一性和奇异性．
知识点三：数学美的意义及审美能力的培养
介绍数学美的3方面的意义，以及数学审美能力的4个层次，并探讨数学审美能力培养的方法等．
重点：
了解数学家对数学美的看法，了解数学美在学习数学和解题方面的作用及例题，逐步培养学生的数学审美能力．
难点：
掌握数学美的基本特征及其表现形式，认识研究数学美学方法的意义．
第十章数学语言
知识点一：数学语言的特征及其特点
数学语言又叫符号语言，它具有4方面的特征以及3大特点．
知识点二：数学的名词、符号和图形
对于数学语言的这三种形式的使用、要求、分类等予以介绍．
知识点三：数学语言运用的标准
在各类数学语言的运用中，都需要符合所介绍的4点标准，也是4点要求．
重点：
了解数学语言的特点，认识数学符号的意义，熟悉数学语言运用的标准，提高学生准确、灵活地运用数学语言的能力．
难点：
理解数学名词的意义，掌握数学符号的发展变化过程及其分类．
五、教学特点和学习方法
1、本课程以讲授为主，2学分共36个课时，以南京师大出版社2006年出版的《数学方法论简明教程》(主编：章士藻)为主讲的教材．
2、我们假定学员们都了解一些形式逻辑和数学公理方面的知识（包括命题、推理、论证及数学公理系统、公理化思想等），所以，我们是在此基础上学习本课程，因此，建议学员们在学习中查看一些形式逻辑和数学公理方面的材料，以便于更好地理解相关的内容．
3、由于本课程课时有限，而教材内容又太多，因此有些内容不讲或略讲，例如：所讲的内容一般是各章节最基本的部分，所选的例题也是尽可能简单的、典型的，有不少过难或过繁的例题不讲．即只选讲该学科的入门知识．
4、从学习的角度来说，建议学员们每次课后能主动阅读教材上与讲解内容相关的部分（包括未讲的例题可以浏览，以便于理解方法）；同时建议学员们在听课过程中，都能适当地作课堂笔记，以记要点为主，课后补充、整理．
总的来说，认真听讲、适当笔记、课后阅读、整理笔记、研究反思(根据活动类型1自学自测)等，是本课程十分有效的学习方法．
六、评价方式
因本课程以了解和理解为基本要求，所以评价方式主要分以下三个方面：
1、听课笔记（有专用的笔记本，以听讲为主的课堂内容，而不是抄教材上的）情况——20%，
2、论坛参与度（根据各章的教学设计之后所附的活动类型2，即“自由讨论”的内容）情况——30%，
3、作业（教学设计之后所附的布置作业）完成情况——50%．
七、参考书目
1、徐利治，数学方法论选讲，华中理工大学出版社，2000年，第3版；
2、马忠林、郑毓信，数学方法论，广西教育出版社，2003年，第1版；
3、张奠宙，过伯祥，数学方法论稿，上海教育出版社，1996年，第1版；
4、郑隆炘，毛鄂涴，数学思维与数学方法论概论，华中理工大学出版社，1997年，第1版；
5、叶立军，数学方法论，浙江大学出版社，2008年，第1版；
6、李得虎、张雄，数学方法论与解题研究，高等教育出版社，2003年，第1版；
7、张奠宙，数学方法论的理论与实践，广西教育出版社，2009年，第1版；
8、郑毓信，数学方法论入门，浙江教育出版社，2006年，第1版．