在高等师范院校数学系，开设了门类众多的高等数学课程，例如，数学分析、高等代数、几何（空间解析几何、高等几何）、近世代数、复变函数、实变函数、概率统计、拓扑学、常微分方程、偏微分方程、计算方法等等．这一方面是使将要走上中学数学教学岗位的毕业生具有一定的数学基础（承担中学数学教学、研究任务及继续学习现代数学知识，并提高自身数学修养），另一方面是使毕业生能利用在高师院校学到的高等数学知识，指导其中学数学的教学和研究工作，也即使他能“居高等数学之高”去临“中学数学之下”．

实际的情况又是如何呢？据调查，大多在中学数学教学岗位工作的师范院校毕业生，他们的体会是：在自己的教学过程中，大学所学习的高等数学知识几乎没有发挥作用；还有的甚至说：在中学任教多年，将在大学学过的高等数学知识几乎都“还给”了大学老师；只有少数人体会到，在中学教学中，虽然高等数学知识直接涉及到的并不多，但其原理、思想、观点和方法却时常发挥着作用，那些从事中学数学教学研究和初等数学研究的（这只是极少的一部分人）中学教师认为，在他们的教学和科研方面，高等数学所发挥的作用是十分明显的．这无疑是高等师范院校数学教育的“悲哀”．

形成上述状况的原因是多种多样的．第一、由于受“应试教育”的影响，对数学教育的价值“实际需要，文化修养，智力筛选”的前二者已经无暇顾及，只是将数学当作“筛子”用了．由于对数学教育价值的不正确理解，因而许多学生都将“取得好的数学成绩，博得家长和老师欢喜”作为学习数学的重要目的．我们常可见到的现象是，学生身陷数学的套题、技巧之中，奔命于作业、考试之间，教师更是疲于应付，只能将教学研究、科学研究放在次要位置，也就更谈不上与所学习过的高等数学知识建立联系．第二、在我国高等师范院校中，无论是文、史、地，还是理、化、生等各专业，所开设的专业课程，都是中学相应课程内容的加深、拓广，螺旋式上升，而数学系的课程设置则是个例外，除了微积分，大学数学课程所开设的高等数学，与中学数学的研究对象、研究方法都有较大的不同，中学数学到大学数学，其知识是直线式上升，而非螺旋式上升．在高师院校数学系的大部分教材中，几乎看不到与中学数学的直接联系，学生难以获得应用高等数学的观点指导中学数学的真实体验．第三、高师院校的教学也存在着一些不足．张奠宙教授曾指出：我们在高师院校执教多年，深感居高未必能自然地临下．在大学课程中，只管讲学科知识本身，联系中学实际的任务往往视为累赘，忽略不讲，举个例子，讲实变函数论，大谈勒贝格测度、勒贝格积分，却不屑于谈谈测度与面积、体积之间的内在联系．对于中学教师来说，也许后者是至关重要的．难怪教育部副部长王湛同志指出：师范教育的教学与基础教育改革存在着脱节现象．

我们知道，中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性．根据中学数学的教学目的和中学生的年龄特征，这样的处理方法应该说是合理的；但是作为一名中学数学教师，仅仅具备中学教材所涉及的知识（在新课程标谁下的必修课内容），那是远远不够的．即便是在现行教材中的数学知识范围内，有些问题如果不在高等数学的知识背景下来解释，仍将含糊不清，甚至疑问重重．下面通过几个例子来说明．

一、从几个例子说起

在中学数学中有许多用中学数学不能准确解释的问题，它们都需要利用高等数学的思想、观点和方法来解释．

例1 关于多项式的因式分解．

因式分解的概念想必大家都很熟悉，即，称把一个多项式表示为若干个因式乘积的形式为因式分解．但有一些问题利用概念却无法解释，如，

1）   是否每个多项式都能进行因式分解？

2）   因式分解进行到什么程度才能结束？

3）   因式分解的结果是否唯一？

4）   多项式的因式分解与整数的素因数分解有何联系？

例2 以下哪个表示的是函数的符号：？

函数概念的发展经历了一个漫长的过程．在现行教材中，分别在初中、高中、大学都介绍了函数，细心的老师可以发现定义是有一些不同（主要是初中与高中或大学有差别）．

定义1（初中）  在某一变化过程中，有两个变量，如果对于的每一个确定的值， 都有唯一确定的值，那么就把称为的函数，称为自变量．

定义2（高中或大学） 设是两个集合，如果按照某种对应关系，使的任何一个元素在中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合到集合的函数．

定义3（高中或大学） 从集合到集合的映射，称为从集合到集合的函数．简称为函数．

定义4（大学） 从集合到集合的函数是满足以下条件的从到的一个关系：

1）；

2）如果，那么．

例3  古代几何三大问题（尺规作图问题）：

1）   三等分任意角；

2）   化圆为方；

3）   立方倍积；

在原来初中教材中还曾有过的一个尺规作图问题：圆内接正七边形是尺规作

图不能的．

我们的问题是：这里的尺和规有什么限制？为什么有那样的限制？这样的尺和规有什么功能？

例4 几个具体的数学问题：

1）求实数的值，使得达到最小值．

2）已知中，是边上的中点，是上的任意一点，连并延长交于，连并延长交于，求证：∥．

3）已知为实数，且，试证：．

二、阅读建议

我们说，阅读时还要有些选择，建议大家阅读以下作者的文章及刊物的文章．

中文作者：张奠宙、郑毓信、钟启泉、顾泠沅、王尚志、邵瑞珍、宋乃庆、罗增儒、杨启亮、史宁中、裴光亚、孙名符、李士琦、徐斌艳、范良火、蔡金发、曹一鸣、任子朝、吕世虎、鲍建生、孔企平、孔凡哲

中文期刊：

数学教育学报、数学通报、数学通讯、中学数学教学参考．

教育心理类：

心理学报、心理科学进展、心理学探索、应用心理学；教育研究、教育发展与研究、教育学报、教育学术月刊、比较教育研究、电化教育研究、电化教育、高等教育研究、教师教育研究、教育研究与实验、基础教育研究、开放教育研究、课程教材教法、外国教育研究、新课程研究（基础教育）、中国教育研究论丛、人民教育、职业技术教育研究、职业教育研究．

书籍：师范大学出版社、教育类出版社．

数学教育博士、硕士论文：

再说说新意的问题：看一篇文章是否有新意，关键是看对你是否有启发．我曾经阅读过几篇文章，感觉很有启发．

例1、若，则（）．

在原式两端求导数可得，，两边同除以，可知．

这个方法十分简洁，方便实用．但是否没有漏洞呢？

如果将题目换成：“，则（）”，它和上述题目的结果显然不同．可是我们若使用了同样的方法，得到的结果仍然是，这明显是不对的，问题出在什么地方呢？

例2、已知曲线，则过点（2，-2）的切线方程为------------．

经过求解可知：方程为．

但有一位中学老师利用几何画板发现，切线是两条而不是一条，同时得到一个判断的结论：对于三次曲线，过其上一点P作切线，如果，那么过P有且只有一条切线，否则两条．

证明：以点P为切点作曲线的切线一定存在．以下证明切点不是P的情形．

假设切点Q，因为Q在曲线上，所以，

，又Q在切线上，所以，

，而Q是切点，

故，因此，

，

即，而，所以，．

如果，那么过P有且只有一条切线，否则两条，切点分别是P,Q

另一方面，正好是的两根和的一半，且由于

，因此，恰好是拐点的横坐标．

具体到该题，，由以上结论知，切线有两条．

这个过程较为复杂，有一次在讲完课后，一位同学（农村教育硕士乔石）从另外的角度给出了较为简洁的做法．

设函数曲线，求过任意点所作的曲线的切线方程．

解：设上的切点为，则，由该式可得切点的横坐标，代人曲线方程得切点的纵坐标．

再由两点式写出切线方程．

具体到该题，，设函数曲线上的切点为，则由定点是得，，将代人上式，解得，再带回曲线方程可得对应的．由于有两个切点，因此就有两条切线．

以下看看几个中学老师的发现．

例3、人教版关于“标准差”的引入．

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，标准差是样本数据到平均数的一种距离，一般用表示．

                       ①

由于上式含有绝对值，运算不方便，因此改用如下公式计算标准差．

                    ②

给人可能的暗示为：在考察时①与②结果的一致性不会受影响．

更进一步，应该有：

  ③

与

                        ④

③与④要么同时成立，要么同时不成立．

有位老师发现：当时，③与④等价．

当时，③与④不等价．

例如，甲：140,140,20；乙：40,179,81．

其中，计算可知③成立，④不成立．

这就是说，该老师指出了一直以来教材中存在的一个看似明白，但不是太明白的问题．

例4、“多数”不是“众数”．

华东师大版八年级《数学》（下）有这样一段话：“为筹备班级里的新年晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查．最终买什么水果，该由调查数据的平均数、中位数还是众数决定呢？当然由众数决定，因为各种水果喜好人数的平均数或中位数没有什么意义”．

这位老师认为，教材中的说法不妥当．例如，

如果按照上述表格确定购买水果，显然应该购买苹果，但众数是5，而不是20．在这里，应该明确的是，买水果应该看“众果”，而不是“众数”．

例5、关于数学语言．

通常认为数学语言分为三类：文字语言、符号语言、图表语言，后两类基本上是数学独有的，但文字语言有许多是从日常语言借鉴而来的，那么，在应用时就要注意不能将其在日常情境中的意义直接搬到数学中使用，否则就会出问题．比如，“与6的平方差”应该怎样理解，是“”还是“”．还有，“三角形的稳定性”中的“稳定性”应该如何理解？

在不等式中几个常用语的区分：

1）恒成立：若不等式在D上恒成立，则等价于．

2）能成立：若区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在D上．

若区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在D上．

3）恰成立：若不等式在D上恰成立，则等价于的解集为D．